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Regla de Tres

Por el Profe Mobius © 

La regla de tres es una operación aritmética que nos permite resolver problemas de proporciones. En estas operaciones tenemos 3 cantidades conocidas y una desconocida que llamaremos "?" que es la que tenemos que calcular. Por esta razón se le llama "regla de tres".

Imaginemos a una cocinera que tiene que hacer un pozole para 10 gentes pero su receta es para 4 personas. Su receta requiere de 3 tazas de maiz blanco y 1 kilo de carne de puerco. El problema que tiene que resolver es "proporcionar" la receta de 4 personas para que rinda para 10 personas: ¿cuántas tazas de maíz y cuántos kilos de carne debe comprar?  

Para el maiz sabemos que 3 tazas nos dan para 4 personas, y queremos saber cuántas tazas "?" necesitamos para 10 personas. Lo escribimos de la siguiente manera:
3        4
?      10

Para encontrar el valor de "?" multiplicamos y dividimos cruzado:
3 x 10 ÷ 4 = 30 ÷ 4 = 7.5 tazas 

Para la carne de puerco sabemos que 1 kilo rinde para 4 personas y queremos saber cuántos kilos necesitamos para 10 personas. Lo escribimos:
1        4
?      10

Multiplicamos y dividimos cruzado: 
1 x 10 ÷ 4 = 10 ÷ 4 = 2.5 kilos 

Este método de multiplicar y dividir cruzado es muy sencillo pero te puedes equivocar si no colocas las cantidades en el orden correcto. Lo más fácil es resolver el problema por pasos como verás a continuación.
Lo primero que debemos hacer es ver cuánto se necesita para UNA persona y luego multiplicar esa cantidad por el número de personas deseado:

Maíz
3 tazas entre 4 personas = 3/4 de taza por persona
Para 10 personas = 10 x 3/4 = 30/4 = 7.5 tazas = 7 tazas y media 

Carne
1 kilo entre 4 personas = 1/4 de kilo por persona
Para 10 personas = 10 x 1/4 = 10/4 = 2.5 kilos 

EJEMPLO 1
Necesito 8 litros de pintura para pintar 4 habitaciones.
¿Cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Antes de usar la regla de tres, vamos a usar lo que se llama el método razonado porque es más fácil de entender y nos proporciona información útil. Vamos por pasos:
A) Primero calculamos lo que se necesita para pintar 1 habitación: 8 litros ÷ 4 habitaciones = 2 litros
B) Entonces, para pintar 5 habitaciones multiplicamos 2 litros x 5 habitaciones = 10 litros

La  ventaja del método "razonado" es que obtenemos la cantidad de pintura requerida por habitación de tal manera que, si por cualquier motivo tuviéramos que aumentar o recortar la cantidad de habitaciones por pintar, lo único que tenenos que hacer es multiplicar el número de habitaciónes por 2 litros para saber cuanta pintura necesiatmos. De esta manera creamos la fórmula:
Litros de pintura = 2 x número de habitaciones

También podemos usar la regla de 3:
8        4
?        5

Multiplicamos y dividimos cruzado:
8 x 5 ÷ 4 = 10 litros 

EJEMPLO 2
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas,
¿cuánto tardarán 5 trabajadores en construir el mismo muro?

Seguimos el método razonado:
A)   Para pintar el muro se requieren 8 x 15 = 120 horas
B)  1 trabajador pinta el muro en 120 ÷ 1 =     120 horas
C)  5 trabajadores pintan el muro en 120 ÷ 5 = 24 horas 

Veamos que pasa si utilizamos la regla de tres:
8        15
?          5

Multiplicamos y dividimos cruzado:
8 x 5 ÷ 15 = 2.6 horas

¿Por que obtuvimos un resultado diferente? Este es un caso típico en que el método cruzado no es lo correcto. Si lo pensamos bien, 5 trabajadores se deben tardar más que los 8 trabajadores que constryen el muro en 15 horas. La respuesta correcta es 24 horas. 

EJEMPLO 3
¿Qué pasa si en el ejemplo anterior tuviéramos 12 trabajadores?
Ya vimos que 1 trabajador se tardaría 120 horas
Entonces 12 trabajadores se tardarán = 120 ÷ 12 = 10 horas
Podemos hacer la siguiente tabla:                                     
1    trabajador                           120 horas
5    trabajadores = 120 ÷ 5 =      20 horas
8    trabajadores = 120 ÷8 =       15 horas
12  trabajadores = 120 ÷ 12 =    10 horas

Lo que hemos hecho es una "formula matemática" que nos dice que las horas necesarias para pintar ese muro depende del número de trabajadores que empleemos. Es una relación directa muy fácil de entender. Si empleáramos a 120 personas tendríamos el muro en 1 hora (siempre y cuando no se estorbara tanta gente trabajando junta).      

EJEMPLO 4
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas
¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
 

A) Primero debemos calcular cuánto muro puede construir 1 trabajador en las 15 horas
Sabemos que 12 trabajadores  construyen un muro de 100 metros en 15 horas. 
Entonces 100 metros de muro ÷ 12 trabajadores = 8.33 metros por trabajador en 15 horas

B) Ahora calculemos cuantos metros de muro hace 1 trabajador en 1 hora  
Del paso anterior hacemos la división de 8.33 metros de muro ÷ 15 horas = 0.555 metros en una hora
Esto es que 1 trabajador hace poquito más de medio metro en 1 hora

C) Ahora tenemos que calcular cuántos metros hace 1 trabajador en 26 horas:
Multiplicamos lo que hace en 1 hora por 26 horas = 0.555 x 26 = 14.443
Un trabajador puede hacer = 14.443 metros en 26 horas

D) Finalmente podemos calcular cuántos trabajadores se necesitan para hacer 75 metros de muro si cada uno construye 14.33 metros:
= 75 ÷ 14.443  = 5.19 que en la realidad deben ser 6 trabajadores pues con 5 no la hacen.

Resultado: se necesitan 6 trabajadores para construir un muro de 75 metros en 26 horas.

EJEMPLO 5
Una bomba de agua surte agua a razón de 18 litros por minuto y llena una cisterna en 14 horas. ¿Cuántas horas se tardará una bomba que surte agua a 7 litros por minuto?

Vemos que la primera bomba surte más agua por minuto que la segunda. ¿Qué tanto?
Simplemente dividimos sus capacidades 18 ÷ 7 = 2.5714 veces. 
 
Si la llave grande de 18 litros por minuto se tarda 14 horas, entonces la llave más pequeña se tardará
2.5714 x 14 = 36 horas

EJEMPLO 6
9 llaves de agua abiertas por 10 horas consumen $20. ¿Cual es el consumo de 15 llaves abiertas por 12 horas si todas as llaves son del mismo tamaño? 

9 llaves por 10 horas = 90 unidades de agua consumen $20
15 llaves por 12 horas = 180 unidades de agua que es el doble del consumo = $20 x 2 = $40

 

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