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División

Por el Profe Mobius © 

Para aprender a dividir es necesario saber la tablas de multiplicar, pues la división es como la multiplicación pero al revés.

Veamos un ejemplo bien sencillo. En las manos tenemos 10 dedos y si los repartimos o dividimos entre las dos manos, resulta que tenemos 5 dedos en cada mano. Decimos que 10 entre 2 es igual a 5, es decir, que el 2 cabe 5 veces en el 10. También podemos ver que 10 entre 5 = 2, es decir, que el 5 cabe dos veces en el 10. Esto quiere decir que si repartimos los 10 dedos de 5 en 5, necesitamos únicamente dos manos. Podemos ver la relación entre la división y la multiplicación como sigue:

División       10 ÷ 2 = 5     10 ÷ 5 = 2
Multiplicación    10 = 5 x 2     10 = 2 x 5

La División
En la división hay tres términos que debes aprender:
Dividendo es la cantidad que vamos a dividir         
Divisor es la cantidad entre la que se va a dividir   
Resultado es el cociente de dividendo ÷ divisor
Remanente que explicaremos más adelante

En la operación 20 ÷ 5 = 4:
20 el dividendo
5 el divisor
4 es el resultado (es el número de veces que el número 5 cabe en el 20)

Ejemplo 1
Supongamos que tienes 14 barras de chocolate y las quieres dividir entre tus 3 amigos de tal manera que cada uno reciba la misma cantidad de chocolate.

Hay dos maneras de solucional el problema.

Primera
Como la división es la multiplicación al revés, podemos preguntar ¿Qué número multiplicado por 3 se acerca a 14? Obviamente es el 4 pues 4 x 3 = 12 con un remanente de 2 para completar las 14 barras de chocolate. Entonces puedes dar 4 barras a cada amigo y repartir las otras 2 del remanente cortando cada una en 3 partes iguales, de tal manera que al final cada uno tendrá 4 + 1/3 + 1/3 = 4 2/3 barras.
Rápido, ¿verdad?

Segunda
Usar el procedimiento de la división (long division) para que puedas resover cualquier problema. Todo el  está en utilizar lo que vimos en el párrafo anterior y colocar el dividendo y el divisor como se muestra:
 

 

En la primera parte de este ejemplo vimos que el primer dígito del resultado es 4, así que lo anotamos en el espacio del resultado y lo multiplicamos por el divisor que son tus 3 amigos de tal manera que 4 x 3 =12. Coloca esta cantidad abajo del dividendo con signo negativo. Haz la resta y obtienes el remanente que es 2 como se indica: 

  

Esta operación indica que 14 dividido entre 3 resulta en 4 con un remanente de 2, es decir 4 x 3 + 2 = 14. 
Puedes dar 4 barras a cada uno de tus amigos pero te faltaría repartirles las 2 del remenente. Continuemos con la división. Como ya no hay más dígitos (números) a la derecha del dividendo 14, añades un punto decimal en el resultado para que en vez de 4 se lea 4. y le añades un cero al remanente 2 para que sea 20. Ahora tenemos que calcular que número multimplicado por 3 se acerca a 20. Veamos que pasa si escogemos uno de estos números: 5, 6 y 7: 
5 x 3 = 15 
6 x 3 = 18  
7 x 3 = 21
Como puedes ver, el 5 se queda corto y el 7 se pasa del 20, así que debemos escoger el 6. Multiplica este número por el divisor y lo colocas abajo del 20 con signo negativo como se indica en la siguiente figura. Haz la resta y obtienes el nuevo remanente 2.

   

Hasta aquí la división indica que  puedes dar 4.6 barras a cada uno de tus amigos. Para obtener más exactitud debes colocar otro cero en el remanente y continuar con la división tal como se hizo en el paso anterior. Obtendrás el resultado final de 4.66  

Comprobación: 4.66 x 3 = 13.98. En tu calculadora haz la división 14 ÷ 3 y verás el resultado como 4.66666667 que puedes expresar como 4.67 x 3 = 14.01 En la mayoría de las veces dos decimales son suficientes en una división.

Al principio de esta sección vimos que cada uno de tus amigos recibiría 4 + 1/3 + 1/3 barras de chocolate que es exactamente 4 barras y 2/3 de barra = 4.67
Por ambos caminos llegamos a la misma solución, sólo que repartir 4.67 barras de chocolate es más difícil de visualizar que repartir 4 barras más 2/3 a cada persona. 

Ejemplo 2Dividir 2580 entre 5.

    

El primer dígito de 2580 es el 2 pero es menor que el divisor, así que debemos tomar los dos primero dígitos que forman 25. El divisor cabe 5 veces en el número 25 así que lo colocamos en la respuesta. El producto de 5 x 5 lo colocamos como negativo y hacemos la resta que da 0.

En este caso el remanente es cero. Bajamos el siguiente dígito del dividendo, que en este caso es el 8 y lo colocamos en el remanente al lado del cero como indica la flecha de la figura. Continuamos con la división y vemos que el 5 cabe 1 vez en el 8. Colocamos el 1 en la respuesta y lo multiplicamos por el divisor. El producto de 1 x 5 lo colocamos en negativo abajo del ocho y hacemos la resta que nos da el nuevo remenente que es 3.

   

 

Ahora bajamos el último dígito del dividendo que es 0 y obtenemos el nuevo remanente 30. La multiplicamos el 6 por el divisor nos dfa 30 que colocamos como negativo y hacemos la resta que nos da 0. Como ya no hay más dígitos en el dividendo, hemos terminado la división. La solución es 516 con cero de remanente.

 

 

Fracciones 
En la vida diaria nos topamos con actividades que requieren medidas exactas como es el caso de la carpintería y plomería en donde las mediciones deben ajustarse con una precisión de 1/8, 1/16 y hasta y más. Estas se llaman fracciones y su valor se obtiene dividiendo el numerador, entre el denominador. Para la división tenemos que comenzar colocando un punto decimal al principio del resultado y añadir 2 ó 3 ceros en el dividendo a la derecha del numerador. 

En el caso de 1/8 tenemos:
Numerador = 1 es el dividendo al que agregamos 2 ceros = 100  
Denominador = 8 es el mismo que se usa como divisor
Resultado = .125 ó lo que es lo mismo 0.125

   .125
8)100
   - 8 
     20
     -16         
     40
    -40
       0 

En el caso de 2/3 tenemos:
Numerador = 2 es el dividendo al que le agregmos 3 ceros = 2000 
Denominador = 3 es el mismo que se usa como divisor
Resultado = .666 ó lo que es lo mismo 0.666

     .666
3) 2000
   -18 
      20
      -18         
        20
       -18
          2

Ejercicios. Hacer los 3 primeros en la mente y luego comprobar el resultado con el peocedimiento de la división. Los últimos tres solamente con el procedimiento de la división comprobándolo con una calculadora.

a) 11 ÷ 2

b) 25 ÷ 4

c) 57 ÷ 8

d) 150 ÷ 9

e) 7 ÷ 11

f) 1 ÷ 50

g) 86 ÷ 879

h) 1,000 ÷ 0 

Las repuestas están al final de la lección. 

División de Dos Dígitos
Cuando el divisor contiene dos o más dígitos, la división opera de la misma manera que hemos visto, pero como no memorizamos las tablas de multiplicar de dos dígitos, tenemos que proceder a prueba y error. Veamos este ejemplo:

Los primeros dos dígitos del dividendo que forman en número 10 son menores que el divisor y por lo tanto tenemos que irnos al "tercer" dígito que forma el número 105. Tenemos que pensar por cúanto tenemos que multiplicar el divisor para que se acerque a 105 sin que sea mayor que ese número. La siguiente tabla es lo que se llama calcular a prueba y error:
10 x 13 = 130 resulta mayor y no nos sirve
  9 x 13 = 117 resulta un poco mayor y tampoco sirve
  8 x 13 = 104 resulta ser el número adecuado

Colocamos el 8 sobre el 5 del dividendo para indicarnos que en el primer paso estamos dividiendo 105 ÷ 13.

Ya podemos continuar con el proceso de la división que conocemos:
1) Multiplicamos 8 x 13 = 104 que colocamos con signo negativo abajo del número 105
2) Obtenemos un remanente de 1
3) Bajamos el 8 para poder dividir 18 entre 13
4) El 13 cabe una vez en el 18, así que colocamos un 1 en el resultado
5) Multiplicamos 1 x 13 = 13 y lo colocamos debajo del 18 con signo negativo
6) Hacemos la operación 18 - 13 = 5
7) Vemos que 1058 ÷ 13 = 81 con un remanente de 5 

La División entre múltiplos se diez
La división entre múltiplos de diez: 10, 100, 1000 etc es muy fácil pues solamente tienes que quitár al dividendo el mismo número de ceros del divisor:

10,000  = 10,000  = 1,000
10             10

10,000  = 10,000  =    100
100          100

10,000  = 10,000  =      10
1,000       1,000

10,000  = 10,000  =       1
10,000     10,000 

Acuérdate que al dividir cualquier número entre 1 te da el mismo número, y que la división por cero es imposible.

 10 ÷ 1 = 10
   0 ÷ 1 = 0
   1 ÷ 0 = infinito

No te preocupes por el infinito, sólo se aplica en matemáticas avanzadas. Pero si lo quieres comprobar puedes usar tu calculadora. Supón que tienes un panqué y lo vas a ir dividiendo en partes cada vez más pequeñas para que le alcance a cada vez más gente.

1/1 = 1  te toca todo el panqué

1/2 = 1/0.5 = 2  un pedazo para ti y otro para tu pareja

1/10 = 1/0.1 = 10  pedazos de panqué para tus amigos

1/100 = 1/.01 = 100 pedacitos de panqué

1/1,000 = 1/0.001 = 1,000 migajas de panqué

1/1,000,000 = 1/0.000001 un millón de gentes reciben un granito que ni saben que es.

Lo puedes seguir dividiendo en cantidades cada vez más pequeñas para llegarle a más gente de la que ha habido en la tierra en toda su historia. Claro que el panqué deja de serlo, pero en matemáticas puedes llegar a dividir por cero para obtener una cantidad infinita. Conclusión: la división entre cero es infinito así que tu calculadora marcará “Error” porque no está diseñada para esto.

 

Respuestas

a) 5.5   b) 6.25   c) 7.125   d) 16.66   e) 0.63   f) 0.02   g) 0.097   h) Infinito

 

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